ワイブル分布ってなに?~高校数学でわかるワイブル分布~

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ワイブル分布ってなに?~高校数学でわかるワイブル分布~

品質評価担当の中嶌です。

今回は、製品の寿命予測の手法としてよく知られる、ワイブル分布について、説明します。

なぜワイブル分布を説明しようと思ったか?

先日、信頼性試験について講義を受けたのですが、

その中でも、ワイブル分布はどんな寿命試験でもご存知!のように扱われ、いきなり

数式だけ出てきて、正直とっつきにくかったです。

私は数式をしりたいのではなく、その意味が知りたかったのです。

なぜ?そのモデルをつかうの?どうしてそういう数式になったの??ってすっごく気になりました!

というわけで、今回は私のようなワイブル分布?なにそれ?って方でもわかるように高校生程度の数式をつかって説明します。

ワイブル分布ってなんやねん?最弱リンクモデルとは

ワイブル分布を説明するために、Dr.ワイブルが思いついた発想を説明します。

ring

まず、n 個の環っかがつながった 1 本の鎖を考えます。

この鎖を荷重xでひっぱって、れる確率をQとします。

destraction

鎖が壊れる場合、壊れる個所は、環っかのうち一番弱い場所から壊れそうですよね?

製品でもそうですが、こわれる個所は一番脆弱な個所なのです!

この環っかの1つが壊れる確率をPとしましょう

ワイブル先生が考えたのは、

(鎖が荷重xで壊れる確率)=(一つの環っかが荷重xで壊れる確率)^n

という事なのです。

つまり、Q=P^nなんですね!!(この時点で筆者はこの人すげえと感動しました。)

私達が知りたいのは鎖、(要するに供し品)が壊れない確率です。

つまり、

(鎖が荷重Fで壊れない確率)=(鎖の環っか1つが荷重Fで壊れない確率)^n

1-Q=(1-P)^n

となりますね!

このモデルは、最弱リンクモデルと呼ばれます。

世の中の製品もそうですが、こわれる時は一番脆弱な個所からこわれそうですよね?

ワイブル先生は、このことを、鎖を構成する環の1つが壊れる確率と鎖全体が壊れる確率を初等関数の範囲で素直に表現したという 天才的なひらめきをモデルにしたのです。

ワイブル分布の数式について

さてここまでは、ワイブル分布の意味について説明しました。

1-Q=(1-P)^nを変形して

Q=1-(1-P)^n

です。

ここで、Pを1-exp(-f(x))と置き換えると、

(なんで置き換えるのだろうとおもったとおもうのですが、説明するとマクローリン展開等が入ってきます。高校数学を超過するので、指数のうちexpが一番自然科学に合致した指数なんやと思ってくれればOK)

Q=1-(1-(1-exp(f(x)))^n

Q=1-(exp(-n*f(x)))

となります。

次に、f(x)をもう少し具体化するために、工学的条件を考えると、 まず、鎖の強度には正の最小値がありますから、 それを xmin とすれば、

f(x) >= 0    (x >= xmin)
f(x) =0    (0 < x < xmin)
でなければなりません。
さらに、
f(xmin) = 0 (荷重xが最小値では壊れる確率が0)
f(x) は x > xmin で、単調増加関数(荷重xが大きくなればなるほど故障確率が高い)
の条件を満足する関数で、最も簡単なものを選ぶ方針で探すと、
(x – xmin)^m / x0    (m > 0, x0 > 0)
が見つかって、
P(x) = 1 – exp(-(x – xmin)^m / x0)

となります。

みなさんがワイブル分布としてよく見る

Rt=1-exp((λ/T)^m)はここから来たのです^^

xminはx軸の位置を変えるので位置パラメータ

x0は尺度を決めます(全体の故障率がe-1≒63%程度になるまでの値の事です)

mは指数の傾き具合、要するにグラフの形状を決めるので形状パラメータといいます。

最後に

今回はワイブル分布の意味について説明しました。

これを使って実際にはんだの寿命の検討をしようと思うので、重要な分布やと思うので意味だけでも覚えとくとGoodです。

はんだ以外にも寿命予測に使える式なのでぜひ^^

ワイブルの原論文

参考に乗っけます^^

http://web.cecs.pdx.edu/~cgshirl/Documents/Weibull-ASME-Paper-1951.pdf


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